INDUKSI MATEMATIKA

A.     PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli. Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

ñInduksi Matematika digunakan

1). Untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

2). Untuk membuktikan universal statements " n Î A S(n) dengan A Ì N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.

ñS(n) adalah fungsi propositional

B. TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA

1. Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar (dibuktikan rumus berlaku untuk n = 1)

2. Inductive Step : Sumsikan S(k) benar (misalkan rumus berlaku untuk n = k ,dibuktikan rumus berlaku untuk n = k+1 )

3. Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif.

C. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

1. Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif

Jawab :

ñ Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = ½ 1 . (1+1) maka 1 = 1

ñ Untuk n = k asumsikan

1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1) adib.

ñUntuk n = k+1 berlaku

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Ruas Kiri Ruas Kanan

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

( k² + k + k + 1 ) ½ = (k+1) (k+2) / 2

k ( k + 1 ) + ( k +1 ) = (k+1) (k+2) / 2

               2

(k² + k) + 2 ( k + 1 ) = (k+1) (k+2) / 2

                    2

( k² + k + 2k + 2 ) ½ = (k+1) (k+2) / 2

( k + 1 ) ( k + 2) ½ = (k+1) (k+2) / 2

v. Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilangan bulat positif n